Dos cabezas piensan mejor que una: ¿cómo resolver efectivamente un problema matemático?

Por Santa Esmeralda Tejeda
Artículo de divulgación científica

¿Qué tienen en común los equipos de trabajo más famosos del mundo contemporáneo, por ejemplo, Steve Jobs y Steve Wozniak, fundadores de Apple, o Larry Page y Sergey Brin, fundadores de Google, quienes han revolucionado nuestras vidas a partir de sus hitos informáticos?, ¿cómo concibieron esos universos tecnológicos? Te invito a reflexionar sobre una de las capacidades humanas que requiere cualquier actividad tecnológica: la capacidad de pensar, y para nuestro tiempo, de pensar colaborativamente.

Uno de los fenómenos más estudiados por la humanidad ha sido el movimiento de los cuerpos. Al estudio del movimiento se le conoce como cinemática, la cual ha sido apoyada por las matemáticas para su comprensión total. El rol de las matemáticas se visualiza cuando el individuo o solucionador de problemas aplica los significados de la derivada y/o la integral, herramientas de cálculo y análisis matemático útiles para la resolución de diversos problemas.

La manera en que un solucionador de problemas de cinemática combina su pensamiento con sus acciones determina la calidad y eficiencia de su respuesta. El solucionador ideal inicialmente analiza las condiciones del problema, procesa su pensamiento matemático alrededor del problema y finalmente verifica que su respuesta funcione para las condiciones originalmente planteadas. Este proceso de pensamiento es complejo y va más allá de la mera aplicación correcta de significados matemáticos. En 1985 Alan Schoenfeld escribió una teoría de solución de problemas matemáticos en su libro “Mathematical Problem Solving”. En esta teoría, Schoenfeld establece que el pensamiento matemático se presenta en seis etapas: lectura, análisis, exploración, planeación, implementación y verificación. Si bien Schoenfeld describe cada una de estas etapas, incluye a la transición entre ellas como una actividad también relevante en el proceso completo.

El entendimiento de las etapas de solución de problemas matemáticos nos permite acercarnos al conocimiento de un modelo de pensamiento aplicable a disciplinas científicas o tecnológicas de una forma metódica y susceptible a mejoras en el procesamiento de información. En este modelo, la lectura es la actividad básica para tomar conciencia del problema. Una vez conectado con el problema empieza la exploración, donde se concibe el panorama completo del fenómeno, registrando sus condiciones y restricciones. La siguiente etapa es la planeación, donde ponemos en juego los datos que nos ofrece el problema y pensamos la relación entre ellos. Es en la implementación donde jugamos con los números y obtenemos un resultado, el cual esperamos a primera instancia como un número o una expresión algebraica. Finalmente, los solucionadores expertos de problemas ponen a prueba su resultado para verificar que su respuesta cumpla las condiciones originalmente planteadas.

Estos antecedentes nos llevaron a investigar cómo resuelven problemas de cinemática y cálculo estudiantes del Tecnológico de Monterrey, por lo que planteamos un problema de gráfica de cinemática a 15 parejas de estudiantes inscritos en Introducción a la Física (antes Física Remedial) (Tejeda & Domínguez, 2019). Para convocar a estos estudiantes revisamos sus resultados en un examen estandarizado de gráficas de cinemática (Zavala, Tejeda, Barniol & Beichner, 2017), para el que se necesitaba saber usar los significados de la derivada y la integral en problemas de Física. Así, estos 30 estudiantes acudieron a entrevistas en pareja, cuidando que no estuvieran en el mismo grupo de la materia. Esta decisión se basó en que se deseaba conocer su manera de resolver problemas independientemente de la cercanía entre los participantes.

Uno de los problemas de Física planteados a estos estudiantes fue el de la gráfica de posición versus tiempo, en una manera de resolución colaborativa (Tejeda & Domínguez, 2019). Este problema se muestra en la figura 1.

Nuestra primera aproximación al problema fue calificarlo como correcto e incorrecto, aunque también observamos que la calidad de su interacción y su visita en cada etapa de resolución de problemas caracterizaba a cuatro grupos de estudiantes como: productivos y exitosos, poco productivo y exitosos, productivos y poco exitosos y poco productivos y poco exitosos.  Observamos que el grupo de los productivos y exitosos visitó todas las etapas de resolución de problemas y que intercambió significados de una forma coherente y eficiente, procesos que representamos a continuación:En esta figura notamos que (a) y (b) señalan el lugar de los ejes de actividad versus tiempo, mientras que (c) muestra cómo aparece el proceso de transición mediante un intercambio de significados entre las parejas de los productivos y exitosos. Las líneas rojas señaladas por (d) indican la voz de la entrevistadora, que no fue codificada por no ser parte de este estudio.

La teoría de solución de problemas de Schoenfeld (1985) es un clásico de resolución de problemas en Matemáticas, que goza de buena reputación en la comunidad científica de Educación de las Ciencias. El planteamiento de esta teoría se centró en cómo un individuo resuelve problemas, mientras que en esta investigación verificamos procesos de pensamiento para dos participantes resolviendo el problema de cinemática colaborativamente. En nuestra investigación fue determinante la calibración de la calidad de las interacciones, debido a que observamos diferencias críticamente significativas entre los grupos clasificados de acuerdo a su perfil. De esta forma, un problema físico que ha fascinado a la humanidad desde hace varios siglos ha sido examinado desde la perspectiva de los procesos mentales de su solucionador, ofreciendo una aplicación para la solución de problemas de naturaleza matemática de manera eficiente, en diversos contextos.

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La autora:
Santa Esmeralda Tejeda Torres es Doctora en Innovación Educativa por el Tecnológico de Monterrey; Máster en Ciencias en Física Educativa por el CICATA-Legaria del Instituto Politécnico Nacional, e Ingeniera Física Industrial por el Tec de Monterrey. Actualmente es profesora investigadora de la Escuela de Ingeniería y Ciencias. Vocal de Posgrado de la Asociación Americana de Física Capítulo México. Miembro del Sistema Nacional de Investigadores CONACyT, nivel Candidato. stejeda@tec.mx

Para saber más:
La investigadora ha publicado diversos artículos científicos sobre este tema:
Modifying the test of understanding graphs in kinematics

Influence of Interactions in the Collaborative Solving of a Velocity Problem