Por Rafael González Acuña
Artículo de Divulgación

¿Te ha pasado que, cuando miras a través de una cámara fotográfica, un telescopio, unos binoculares o un microscopio, ves las imágenes borrosas o sin nitidez? Probablemente no es que el lente esté sucio o fuera de foco, sino que se trata de un fenómeno óptico llamado aberración esférica.

La aberración es un defecto de los sistemas ópticos, que hacen que la imagen formada por una lente sea borrosa o distorsionada, y la naturaleza de dicha distorsión depende del tipo de aberración.

Un sistema óptico de formación de imágenes que presente aberración producirá una imagen sin nitidez. Es ahí cuando los fabricantes de instrumentos ópticos deben corregir los dispositivos para compensar la aberración.

La aberración esférica es un tipo de aberración óptica que se encuentra en los sistemas ópticos que utilizan superficies esféricas, como cámaras fotográficas, telescopios, binoculares, microscopios, etcétera. Las lentes y los espejos curvos de estos equipos se hacen generalmente con superficies que son esféricas, porque esta forma es más fácil de formar que las superficies curvadas no esféricas. Los rayos de luz que inciden en una superficie esférica descentrados se refractan o se reflejan más o menos que los que impactan cerca del centro. Esta desviación reduce la calidad de las imágenes producidas por los equipos ópticos.

Figura 1. En la parte superior hay una representación de una lente perfecta sin aberraciones esféricas: todos los rayos entrantes se enfocan en el punto focal. El ejemplo inferior muestra una lente real con superficies esféricas, que produce una aberración esférica: los diferentes rayos no se encuentran después de la lente en un punto focal.

La solución al problema de la aberración esférica (establecido por Wasserman-Wolf en 1949)

Una lente asférica es una lente cuyas superficies no son porción de una esfera, sino que tienen una forma más libre, por ejemplo, el lente de una cámara fotográfica.

Una lente asférica puede reducir o eliminar la aberración esférica y también reducir otras aberraciones ópticas como el astigmatismo, en comparación con una lente esférica simple. Una sola lente asférica a menudo puede reemplazar un sistema de lentes múltiples mucho más complejo. El dispositivo resultante es más pequeño y liviano, y algunas veces más barato que el diseño de lentes múltiples.

En el diseño de sistemas ópticos, la superficie asférica tiene como objetivo reducir fuertemente la aberración esférica. Muchos autores propusieron un diseño de lentes con dos superficies asféricas para corregir la aberración esférica, pero en sí todas las soluciones son de carácter numérico.

El problema del diseño de un lente sin aberración esférica también se conoce como el problema de Wasserman-Wolf, postulado por Wasserman y Wolf en 1949 en un artículo publicado en la Royal Society Proceedings, el cual explica de forma técnica el problema, pero no da una solución analítica.

Sin embargo, el problema de Wasserman-Wolf es más antiguo, y en efecto debe ser tan antiguo como las mismas lentes, pues en un libro muy antiguo de 1690, titulado “Tratado sobre la luz”, del astrónomo Christian Huygens, menciona que el problema ya era popular en la época y que Newton y Leibniz estaban interesados en resolverlo, pero no pudieron.

En un libro del siglo XVII se menciona que los astrónomos Newton y Leibniz estaban detrás del mismo problema óptico.

En un artículo científico llamado “General formula for bi-aspheric singlet lensdesign free of spherical aberration”, que publicamos recientemente en la revista Applied optics, ofrecemos la ecuación que da solución a la conjetura de Wasserman-Wolf, la cual se muestra en la figura 2.

Figura 2. Con esta fórmula se concluyen siete décadas de búsqueda por la solución de la aberración esférica, también conocida como el problema de Wasserman-Wolf.

En dicha ecuación describimos cómo debe ser la forma de la segunda superficie asférica de la lente dada una primera superficie, la cual es proporcionada por el usuario, así como la distancia objeto-imagen. La segunda superficie es tal que corrige toda la aberración generada por la primera superficie, y se elimina la aberración esférica.

Durante nuestro estudio calculamos la eficiencia de 500 rayos, y el promedio de satisfacción de todos los ejemplos fue de 99.9999999999%. Este hallazgo podrá tener muchas aplicaciones, ya que permitirá producir lentes con mayor calidad de imagen a cualquier distancia, cualquier grosor y cualquier material.

Con este resultado se concluyen siete décadas de búsqueda por la solución del problema de Wasserman-Wolf.

La solución del problema de Levi-Civita (establecido en 1900) 

Por otra parte, el problema general de los óvalos cartesianos fue considerado por primera vez por el físico matemático italiano Levi-Civita en 1900, sin dar una fórmula analítica de forma cerrada. El problema del óvalo cartesiano generalizado consiste en encontrar una superficie refractiva que transforme un frente de onda entrante, en otro frente de onda saliente esférico.

En una publicación presentada junto con los investigadores Alejandro Chaparro Romo y Julio Gutiérrez Vega en la revista Applied Optics, bajo el título “General formula to design freeform singlet free of spherical aberration and astigmatism”, damos una respuesta analítica a este antiguo problema.

Con dicha publicación se obtiene la respuesta a un problema que tenía más de un siglo sin solución, y la cual se consideraba un mito por la comunidad científica especializada.

En resumen, ambas soluciones presentadas por nuestro equipo de investigadores tienen un enorme potencial en el diseño de dispositivos ópticos, y sus aplicaciones son muchísimas, particularmente en el diseño de lentes, cámaras, microscopios, telescopios, endoscopios, etcétera, los cuales se caracterizan por tener una altísima calidad de imagen.

Otro aspecto a resaltar es que no solo encontramos las soluciones de ambas conjeturas, sino que dichas soluciones son únicas, por lo que ambas ecuaciones perdurarán a través del tiempo.

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Rafael Guillermo González Acuña estudió Ingeniería Física Industrial en el Tecnológico de Monterrey y cursó la Maestría en Optomecatrónica en el Centro de Investigaciones en Óptica, A.C. Actualmente estudia el Doctorado en Nanotecnología en el Tecnológico de Monterrey. Su tesis doctoral se enfoca en el diseño de lentes libres de aberración esférica.

 

38 COMMENTS

  1. En hora buena por tu resultado, sin embargo me surge una cuestión. Por lo que entiendo se ha resuelto el problema en cuanto al planteamiento de la solución matemática, sin embargo ¿cuándo podríamos ver materializado este esfuerzo en una lente óptica diseñada bajo este modelo?. Me parece interesante porque podría reducir el arreglo de lentes dentro de las cámaras de los celulares, lo cual permitiría hacerlos más compactos y por ejemplo, eliminar el borde presente alrededor de la cámara.

    • Falso la lentes parabolicas tiene aberracion esferica, los espejos parabolicos no.. de hecho quien encontro esto fue hace mas de 2mil años el griedo Diocles, el encontro la propiedad del espejo parabolico es libre de aberracion esferica, pero desde tiempo de Diocles nadie habia encontrado la solucion a la forma de la lente libre de aberracion esferica.

  2. ¿Y la aberración cromática?
    ¿Para qué longitud de onda se resuelve la ecuación y cómo afecta a las demás longitudes?
    Supongo que se hace con el valor central del espectro visible (verde), pero esto distorsionará a los colores de los extremos (rojo, azul violeta).
    ¿Cómo se modifica la ecuación de acuerdo al tipo de índice de refracción del vidrio utilizado en la fabricación de la lente?
    ¿Se puede modelar como lente de Fresnel y cómo modifica esto la ecuación?

    • ¿Y la aberración cromática?
      Es un problema mas complicado aun..

      ¿Para qué longitud de onda se resuelve la ecuación y cómo afecta a las demás longitudes?
      Luz monocromatica definida por el usuario

      ¿Cómo se modifica la ecuación de acuerdo al tipo de índice de refracción del vidrio utilizado en la fabricación de la lente?
      El indice de refraccion puede ser cualquier numero real mayor a uno o menos a cero.

      ¿Se puede modelar como lente de Fresnel y cómo modifica esto la ecuación?
      Si se puede aplicar una lente de Fresnel y no se tiene que modificar nada.

  3. Hola, felicidades por su hallazgo. Aquí un matemático preguntando algunas cosas.

    ¿Es este un problema de geometría Riemanniana?

    ¿Es encontrar la superficie que rebota rectas y se intersectan en un punto único?

    ¿Es esta superficie una variedad algebraica?

    Esa fórmula qué te dice ? No se alcanza ver. Todos los radicales parecen ser una raiz cuadrada. Parece un número algebraico, ¿de qué grado es? ¿Cuál es el grupo de automorfismos del polinomio mínimo de esta fórmula sobre el campo de funciones racionales sobre Q con grado de trascendencia “n” donde n es el número de variables de tu

    Tal vez hay una expresión más elegante que eso que no se vemuy manejable.

    Saludos

    • Hola, felicidades por su hallazgo. Aquí un matemático preguntando algunas cosas.

      Muchas gracias por su interés Eduardo, sin duda cualquier pregunta constructiva la agradezco mucho.

      ¿Es este un problema de geometría Riemanniana?

      Si partimos que trabajamos una lente rotacional meten simétrica trabajo en el plano (r,z) entonces una lente para nosotros es la una intercesión de dos curvilíneas en R^2. Ahora estas líneas no pueden tener loops como un 8, o el infinito. Por lo que si podemos decir que son manifolds.

      Porque no puede tener loops, porque eso físicamente no es posible para una lente “física”, de hecho hay una condición que la primera superficie tiene que se homeomorfica respecto a la segunda, ahora puedes decir ok si lo son… pues son dos conjuntos en R^2, pero la función que mapea de la curvilínea uno a la curvilínea 2, tiene que obedecer el principio de mínima acción para que sea físicamente valido.

      Algo interesante es que cuando los rayos se cruzan dentro de la lente, la segunda superficie s2 que esta dada por esa ecuación esa enorme, la segunda superficie tiene loops y se pierde el homeomorfismo entre ambas curvilíneas

      Yo veo que este fenómeno se podría ver como una homotopia donde la diferencia es que las trayectorias obedecen el principio de mínima acción, entonces es como como un problema de cálculo variacional
      El mismo caso es si trabajamos en (x,y,z) o como las llaman en la comunidad de diseño óptico, freeform solo que ahora en vez de lineas son superficies, si tienes chansa ve [1]

      ¿Es encontrar la superficie que rebota rectas y se intersectan en un punto único?
      Si, las rectas bajo los axiomas de óptica geométrica se llama rayos y representan la trayectoria de la luz. El rebote es la refracción en este caso la cual obedece al principio de mínima acción el cual está ligado a la superficie de la lente.

      ¿Es esta superficie una variedad algebraica?

      Es un problema abierto y encontrar esa familia de polinomios sería muy interesante.

      Esa fórmula qué te dice ? No se alcanza ver. Todos los radicales parecen ser una raiz cuadrada. Parece un número algebraico, ¿de qué grado es? ¿Cuál es el grupo de automorfismos del polinomio mínimo de esta fórmula sobre el campo de funciones racionales sobre Q con grado de trascendencia “n” donde n es el número de variables de tu Tal vez hay una expresión más elegante que eso que no se vemuy manejable.

      Sin duda la imagen no se bien, te agregue a researchgate hay tengo el articulo hay puedes ver las variables. En cuanto al tamaño, la ecuación que se presenta es en un máxima expresión, en el artículo lo que hago es agregar variables auxiliares para hacer más pequeña la expresión [2].

      Sobre los polinomios… la expresión está escrita en forma paramétrica, en la imagen solo se tiene zb(ra), falta rb(ra). Hay una manera de expresar de encontré los polinomios que aproximan a la curva paramétrica (rb(ra), zb(ra), pero a un no he podido encontrarlos de forma analítica, la comunidad de diseño óptico le llama polinomios con coeficientes de deformación asfericos. Donde ra es la varíale independiente.

      Pero asumamos que se cómo son esos polinomios y los llamo f(ra) entonces el autoformismo seria f(x*y)=f(x)*f(y), donde * es la operación bajo el autoformismo, la cual nose si siquiera sea para la suma o para la multiplicación.

      Ahora un análisis rápido tomo x=0, y=rmax, bajo la suma + si mi primera superficie es un plano za=0. Donde rmax es el punto de intercesión pero al ser la primera superifie un plano f(rmax)=0, como en 0 tenemos el espesor central de la lente tenemos f(0)=t.

      f(0+rmax)=0
      f(0)+f(rmax)=t

      Por lo que en general no se cumple que f(x+y)=f(x)+f(y), con multiplicación

      f(0Xrmax)=t
      f(0)Xf(rmax)=0

      por lo que en general no se cumple que f(x*y)=f(x)*f(y), pero todo esto si za=0, puede que existan za donde si se cumpla un automorfismo

      Hacer esto sería interesante desde el punto de vista matemático, pero desde el lado físico la lente perdería su propiedad de ser libre de aberración esférica por que la solución es única.

      En lo personal creo que estas superficies tienen propiedades matemáticas interesante que me gustaría estudiar, por ahora lo me he enfocado en la parte física del problema, pero la parte matemática me llama la atención sobre todo las figuras de [1] porque hay forma muy raras..

      Cualquier cosa escríbeme por researchgate; muchas gracias por su interés!

      [1] General formula to design a freeform singlet free of spherical aberration and astigmatism,
      [2] General formula for bi-aspheric singlet lens design free of spherical aberration

  4. Felicitaciones Rafael Guillermo González Acuña Eureka, ojala pudieras tomar como reto el Teorema de los números Primos, sé que es bien trillado y tiene tiempo sin solución, pero si pudieras simular mediante fórmulas matemáticas, la presencia de los números primos en la Matemática Vorticial sería genial. Esa simulación tomaría a los números primos clasificados de acuerdo a su cualidad, luego de identificarlos por cualidad se evaluaría la simulación de los mismos para ver como se distribuyen entre los números naturales. Ya la sola clasificación de los mismos por sus cualidades, presenta características inéditas que estoy seguro, te llevarán a seguir el estudio, feliz día.

  5. Muchas felicidades, no entiendo mucho de esto, pero al decir que Newton no pudo resolverlo, quiere decir que era un problema muy complejo….

    Ahora como se dice por ahí vulgarmente…no se lo vayan a “chutar” los gringos y digan que ellos lo resolvieron…

    Felicidades muchachos mexicanos!!!!!

  6. Felicitaciones por haber resuelto un problema aparentemente irresoluble.
    Imagino, además de las especificidades de la óptica, esta nueva ecuación abre nuevos caminos al conocimiento en otras áreas.
    Emocionante hallazgo.

  7. Muchas felicidades, Rafael, por tan excelente solución analítica, mi única pregunta sería si la efectividad de la solución se mantiene para un número muchísimo mayor a 500 rayos ? Haz podido hacer una simulación aún mas grande ?

  8. Las aberraciones esféricas y cromáticas, son el gran problema de los aparatos ópticos y para solucionarlos recurren a la complejidad de múltiples lentes y materiales exóticos como la fluorita, encareciendo costos, aumentando peso y tamaño de dichos instrumentos de visualización.
    Es importante llevar a la practica este ultimo descubrimiento de solución esférica y ojala encuentren otro para simplificar aberraciones cromáticas.

  9. Rafael:
    Felicitaciones por el resultado.
    Haz resuelto el caso de no aberración esférica para un punto objeto y uno imagen. Eso significa que esta solución solo sería aplicable en tal caso, como en los colimadores, haces especiales,… pero no en imágenes. En los instrumentos ópticos de imagen hay miles de puntos objetos que queremos no tengan aberraciones, que usualmente no solo adolecen de aberración esférica sino coma, astigmatismo, curvatura de campo, etc.
    ¿Cómo has pensado extender este resultados para hacer que los otros puntos fuera de eje se comporten bien?
    Saludos

  10. Muchas Felicidades Rafael!

    Como estudiante es sumamente motivador conocer lo que haz logrado y nos impulsa a seguir tus pasos.

    Con el objetivo de divulgación de la ciencia sería todo un honor que nos pudieras acompañar en una conferencia para alumnos de distintas carreras en el Tec campus Monterrey, en nuestro seminario de ciencias, un proyecto que organizamos entre distintas sociedades de alumnos precisamente para motivarlos a utilizar sus capacidades técnicas y científicas para resolver problemas de alto impacto.

    ¿Hay alguna manera en la que me pueda contactar de manera directa y dar seguimiento a esta invitación?

  11. Simplemente increíble, merecen el reconocimiento mundial (y ya lo tienen ..) . Quiero suponer el siguiente reto es en “multifrecuencias”, digamos para cierto ancho de banda. Expreso mi admiración por tan importante contribución.

  12. Good job done Rafael. This help also in the object recognition by cameras for visual inspection of matrices of products (ex. chocolate or biscuits) or tracking targeting for pick and place delta robots (roboguide)
    External products suffer always of poor inspection quality.
    My company built up all secondary packaging lines in gamesa monterrey.

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